mat edukacja
Uczymy się razem
Geometryczna liga zadaniowa
„Pompetition” (wiosna 2023)
Ligę prowadzili Karol Janowicz i Waldemar Pompe
Podsumowanie ligi
38 uczestników ligi nadesłało co najmniej jedno poprawne rozwiązanie.
Ligę wygrywa Katarzyna Pasierbiewicz, która rozwiązała aż 10 zadań!
Drugie miejsce zajął Jarosław Makucha, który rozwiązał tylko jedno zadanie mniej niż Kasia.
Poniżej czołówka (w nawiasie liczba rozwiązanych zadań):
- Katarzyna Pasierbiewicz (10)
- Jarosław Makucha (9)
- Radosław Górzyński (8)
- Piotr Kucharczyk (8)
- Milena Kwiatkowska (8)
Kasia i Jarek otrzymują od nas nagrody książkowe.
Serdecznie gratulujemy zwycięzcom oraz dziękujemy wszystkim
za udział!
Kolejna liga (tym razem dla uczniów szkół podstawowych oraz klasy pierwszej liceum) już we wrześniu 2023 r. Zapraszamy serdecznie!
Kolejna liga (tym razem dla uczniów szkół podstawowych oraz klasy pierwszej liceum) już we wrześniu 2023 r. Zapraszamy serdecznie!
Zadanie 12.
Wysokości AD, BE, CF trójkąta ostrokątnego ABC
przecinają się w punkcie H. Prosta DE przecina okrąg
opisany na trójkącie ABC w punktach X, Y.
Dowieść, że suma miar kątów CXF i CYF jest równa
mierze kąta XHY.
Zadanie 11.
Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Prosta CI przecina odcinek AB w punkcie E. Punkt K jest symetryczny do punktu C względem punktu I.
Znając długości a, b, c odpowiednio boków BC, CA, AB, obliczyć iloraz długości
odcinków EK i EC.
Zadanie 10.
Dany jest trójkąt ostrokątny ABC o kątach α, β, γ odpowiednio przy wierzchołkach
A, B, C, przy czym α<β<γ. Punkty D, E, F są spodkami wysokości trójkąta ABC poprowadzonych odpowiednio z wierzchołków A, B, C. Punkty K, L, M są odpowiednio środkami odcinków
BC, CA, AB. Udowodnić, że z odcinków o długościach DK, EL, FM można zbudować trójkąt oraz wyznaczyć miary jego kątów, znając α, β, γ.
Zadanie 9.
Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg Ω. Punkt K jest środkiem tego łuku AB
okręgu Ω, który nie zawiera punktu C. Okrąg o środku I jest wpisany w trójkąt ABC i jest styczny do boku AB w punkcie F. Prosta KF przecina okrąg Ω
po raz drugi w punkcie X. Wykazać, że odcinki CX i IX są prostopadłe.
Zadanie 8.
W trójkąt ostrokątny ABC wpisano kwadraty KLMN oraz PQRS
w sposób przedstawiony na rysunku. Dowieść, że odcinki AK
oraz CQ są prostopadłe.
Zadanie 7.
Punkt D jest środkiem boku BC trójkąta prostokątnego ABC, w którym AB=AC.
Punkt E
leży na odcinku AD. Punkty K i M są odpowiednio środkami odcinków AB i DE.
Punkt F jest rzutem prostokątnym punktu E na prostą AC.
Udowodnić, że kąt FMK jest prosty.
Zadanie 6.
Dany jest trójkąt ABC, w którym AC=BC. Okrąg ω leży wewnątrz trójkąta ABC i jest styczny do boków AC i BC. Styczna s do okręgu ω przecina boki AC i BC
odpowiednio w punktach X i Y, przy czym okrąg ω jest wpisany w trójkąt XYC.
Okręgi o1 i o2 leżą na zewnątrz trójkąta ABC i są styczne do prostych
AB, s oraz odpowiednio do odcinków AX i BY. Dowieść, że suma promieni
okręgów o1 i o2 nie zależy od wyboru stycznej s.
Zadanie 5.
Okrąg o jest wpisany w romb ABCD. Styczna do okręgu o
przecina odcinki BC i CD oraz proste AB i AD odpowiednio
w punktach P i Q. Dowieść, że pole trójkąta CPQ jest
stałe, niezależne od wyboru stycznej.
Zadanie 4.
Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD, w którym
przekątne AC i BD
są prostopadłe i przecinają się w punkcie P.
Punkt M jest środkiem odcinka AB. Punkt Q jest
obrazem symetrycznym
punktu P względem prostej CD. Dowieść, że suma kątów
AQB i CMD jest równa 90 stopni.
Zadanie 3.
Punkty D i E leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta równobocznego ABC, przy czym AD=CE. Punkt M jest środkiem odcinka DE. Na prostej AB, poza odcinkiem AB, wyznaczono taki punkt F, że BF=AD. Udowodnić, że kąt FMC jest prosty.
Zadanie 2.
Czworokąt wypukły ABCD, w którym AB=BC oraz kąt ABC ma miarę 60°,
jest wpisany w okrąg. Punkt K jest środkiem krótszego łuku AC tego okręgu.
Punkty I, J są odpowiednio środkami okręgów wpisanych w trójkąty ABD i CBD.
Dowieść, że trójkąt IJK jest równoboczny.
Zadanie 1.
Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym kąt ABC jest prosty,
AC=CD oraz kąty ACB i ACD są równe.
Punkt M jest środkiem boku AD. Odcinki BM i AC przecinają się w punkcie K.
Wykazać, że odcinki BC i CK mają równe długości.
Opis ligi (wiosna 2023 r.)
Niech wchodzi tu każdy, kto nie zna geometrii!
Zapraszam serdecznie wszystkich uczniów, miłośników matematyki, którzy nie mają jeszcze tytułu finalisty lub laureata Olimpiady Matematycznej (w liceum) do wspólnej geometrycznej zabawy!
W każdą sobotę (od 4.03.2023 do 27.05.2023) punktualnie o godz. 9:00 pojawi się w tym miejscu zadanie geometryczne. Do godz. 20:00 następnego dnia (czyli niedzieli) będę czekać na Wasze rozwiązania. Następnie przygotuję podsumowanie zadania, gdzie będę prezentował m.in. Wasze pomysły wyróżniające się w sposób szczególny elegancją. Wszystkie osoby, które prześlą poprawne rozwiązania zostaną wymienione w podsumowaniu zadania.
Najbardziej aktywne osoby otrzymają na koniec ligi nagrody!
Powodzenia!
Waldemar Pompe
Regulamin udziału w geometrycznej lidze zadaniowej „Pompetition”
- W lidze może wziąć udział każdy uczeń szkoły ponadpodstawowej lub podstawowej, który nie ma tytułu finalisty lub laureata Olimpiady Matematycznej (w liceum). Udział jest bezpłatny.
- Przy rozwiązywaniu zadań uczestnik może korzystać z dostępnej literatury, jednak nie może korzystać z pomocy osób trzecich.
- Rozwiązanie ogłoszonego w daną sobotę zadania należy przesłać najpóźniej następnego dnia (niedziela) o godz. 20:00. Adres mailowy, na który należy przesłać rozwiązanie pojawi się wraz z treścią zadania.
- Rozwiązania należy przesłać jako załącznik w postaci czytelnie zeskanowanego pliku pdf. Plik powinien mieć białe tło (do tego celu można użyć dowolnej aplikacji do skanowania poprawiającej kontrast), nawet jeśli oryginalne, szare tło skanu pozwala na przeczytanie treści.
- Zeskanowane prace powinny zawierać imię, nazwisko, klasę, nazwę szkoły oraz miejscowość szkoły uczestnika ligi, numer zadania oraz rysunek ilustrujący rozwiązanie.
- Każdy uczestnik ligi, decydując się na przesłanie pracy, wyraża zgodę na publikację w podsumowaniu zadania imienia, nazwiska oraz miejscowości szkoły oraz na ewentualne wykorzystanie rozwiązania.
