mat edukacja

Uczymy się razem

Geometryczna liga zadaniowa

„Pompetition” (wiosna 2024)

Ligę prowadzili Radosław Górzyński, Karol Janowicz i Waldemar Pompe

Podsumowanie ligi
W tegorocznej lidze wzięło udział 19 osób. Zuzanna Gierej oraz Michał Smółko jako jedyni rozwiązali wszystkie zadania! Serdeczne Wam gratulujemy!
Nasze gratulacje kierujemy także w stronę kolejnej czwórki osób z rewelacyjnymi wynikami: Mileny, Szymona, Zosi i Zuzi.
Wszystkim uczestnikom ligi serdecznie dziękujemy za udział w naszych geometrycznych zmaganiach i życzymy dalszych geometrycznych sukcesów!
  • Zuzanna Gierej (12)
  • Michał Smółko (12)
  • Milena Kwiatkowska (10)
  • Szymon Michalik (9)
  • Zofia Makowska (8)
  • Zuzunna Mosionek (7)
Zadanie 12.
Okrąg o środku I, wpisany w trójkąt ABC, jest styczny do boku AB w punkcie D. Punkt M jest środkiem łuku AB (niezawierającego punktu C) okręgu opisanego na trójkącie ABC. Prosta DM przecina okrąg opisany na trójkącie ABC po raz drugi w punkcie E. Udowodnić, że kąt IEC jest prosty.
Zadanie 11.
W sześciokącie wypukłym ABCDEF wpisanym w okrąg przeciwległe boki są równoległe. Punkty K, L, M leżą odpowiednio na bokach AB, CD, EF. Proste przechodzące przez punkty K, L, M i prostopadłe odpowiednio do boków AB, CD, EF przecinają odcinki DE, FA, BC odpowiednio w punktach P, Q, R. Dowieść, że środki ciężkości trójkątów KLM i PQR pokrywają się.
Zadanie 10.
Punkt E leży wewnątrz czworokąta wypukłego ABCD, przy czym kąty BEC i DEA są proste. Punkt F leży wewnątrz tego czworokąta, przy czym kąty CBE i ABF są równe oraz kąty DAE i BAF są równe. Punkty G i H są rzutami prostokątnymi punktu F odpowiednio na proste AB i CD. Wykazać, że czworokąt EHFG jest równoległobokiem.
Zadanie 9.
Punkt P leży wewnątrz rombu ABCD. Okręgi wpisane w trójkąty PAB, PBC, PCD, PDA są styczne do boków AB, BC, CD, DA odpowiednio w punktach E, F, G, H. Udowodnić, że kąty BEG i BFH są równe.
Zadanie 8.
W równoległoboku ABCD punkt M jest środkiem boku AB. Prosta DM przecina okrąg opisany na trójkącie ABD po raz drugi w punkcie E. Punkt F jest rzutem prostokątnym punktu B na prostą AD. Dowieść, że punkty C, D, E, F leżą na jednym okręgu.
Zadanie 7.
Przekątne AC i BD rombu ABCD przecinają się w punkcie E. Punkty I, J i K są środkami okręgów wpisanych odpowiednio w trójkąty ABD, CDA i BCE. Dowieść, że miara kąta IKJ jest równa 45°.
Zadanie 6.
W trójkącie ostrokątnym ABC wysokości AD i BE przecinają się w punkcie H. Odcinki DE i CH przecinają się w punkcie F. Punkt M jest środkiem odcinka DE. Wykazać, że punkty A, B, M, F leżą na jednym okręgu.
Zadanie 5.
Dany jest trójkąt ABC. Na bokach BC i AC tego trójkąta wybrano odpowiednio takie punkty X i Y, że długości odcinków BX i AY są równe. Udowodnić, że środek S okręgu opisanego na trójkącie CXY leży na pewnej ustalonej prostej, niezależnej od wyboru punktów X i Y.
Zadanie 4.
Dany jest kąt o wierzchołku O oraz punkt P leżący w jego wnętrzu. Po jednym ramieniu tego kąta porusza się odcinek AB o stałej długości. Proste AP i BP przecinają drugie ramię kąta odpowiednio w punktach D i E. Wykazać, że różnica ilorazów AP:PD i BP:PE jest stała, niezależna od położenia odcinka AB.
Zadanie 3.
Trójkąt ostrokątny ABC jest wpisany w okrąg o. Proste przechodzące przez wierzchołki A, B, C i prostopadłe odpowiednio do boków BC, CA, AB przecinają okrąg o odpowiednio w punktach D, E, F. Punkty K, L, M są odpowiednio środkami cięciw AD, BE, CF. Wykazać, że trójkąty ABC i KLM są podobne.
Zadanie 2.
Punkty D, E leżą odpowiednio na bokach BC, CA trójkąta równobocznego ABC, przy czym odcinki BD i AE mają równe długości. Wewnątrz trójkąta ABC wybrano taki punkt P, że suma miar kątów APE i BPD jest równa 180°. Dowieść, że kąty PAB i DPC mają równe miary.
Zadanie 1.
W czworokącie wypukłym ABCD boki BC, CD, DA mają równe długości. Miary kątów przy wierzchołkach C i D wynoszą odpowiednio 130° i 110°. Wyznaczyć miary pozostałych kątów czworokąta ABCD.

Opis ligi (wiosna 2024 r.)

Niech wchodzi tu każdy, kto nie zna geometrii!

Zapraszam serdecznie wszystkich uczniów, miłośników matematyki, którzy nie mają jeszcze tytułu finalisty lub laureata Olimpiady Matematycznej (w liceum) do wspólnej geometrycznej zabawy!

W (prawie) każdą sobotę od 16.03.2024 do 8.06.2024 punktualnie o godz. 9:00 pojawi się w tym miejscu zadanie geometryczne. Do godz. 20:00 następnego dnia (czyli niedzieli) będę czekać na Wasze rozwiązania. Następnie przygotuję podsumowanie zadania, gdzie będę prezentował m.in. Wasze pomysły wyróżniające się w sposób szczególny pomysłowością i elegancją. Wszystkie osoby, które prześlą poprawne rozwiązania zostaną wymienione w podsumowaniu zadania.

Najbardziej aktywne osoby otrzymają na koniec ligi nagrodę książkową!

Powodzenia!

Waldemar Pompe

Regulamin udziału w geometrycznej lidze zadaniowej „Pompetition”

  • W lidze może wziąć udział każdy uczeń szkoły ponadpodstawowej lub podstawowej, który nie ma tytułu finalisty lub laureata Olimpiady Matematycznej (w liceum). Udział jest bezpłatny.
  • Przy rozwiązywaniu zadań uczestnik może korzystać z dostępnej literatury, jednak nie może korzystać z pomocy osób trzecich.
  • Rozwiązanie ogłoszonego w daną sobotę zadania należy przesłać najpóźniej następnego dnia (niedziela) o godz. 20:00. Adres mailowy, na który należy przesłać rozwiązanie pojawi się wraz z treścią zadania.
  • Rozwiązania należy przesłać jako załącznik w postaci czytelnie zeskanowanego pliku pdf. Plik powinien mieć białe tło (do tego celu można użyć dowolnej aplikacji do skanowania poprawiającej kontrast), nawet jeśli oryginalne, szare tło skanu pozwala na przeczytanie treści.
  • Zeskanowane prace powinny zawierać imię, nazwisko, klasę, nazwę szkoły oraz miejscowość szkoły uczestnika ligi, numer zadania oraz rysunek ilustrujący rozwiązanie.
  • Każdy uczestnik ligi, decydując się na przesłanie pracy, wyraża zgodę na publikację w podsumowaniu zadania imienia, nazwiska oraz miejscowości szkoły oraz na ewentualne wykorzystanie rozwiązania.

Pompetition Junior

— dla uczniów szkół podstawowych oraz pierwszej klasy szkół ponadpodstawowych zainteresowanych matematyką

Pompetition

— dla uczniów szkół ponadpodstawowych przygotowujących się do Olimpiady Matematycznej

© 2020-2024 mat edukacja
kontakt@matedu.pl
polityka prywatności