Konkursy Konkursy
matematyczne OMJ Olimpiada
Matematyczna
Juniorów OM 2 etap Olimpiada
Matematyczna
2 etap

Przed Olimpiadą Matematyczną Juniorów

Zadania

Zadanie 2–54.

Rozwiąż w liczbach całkowitych nieujemnych x, y równanie |2^x-y^2|=15.

Odp.: Równanie ma trzy rozwiązania (x,y): (0,4), (4,1), (6,7).
Analizując podzielność przez 3 obu stron równania, uzasadnij, że liczba x jest parzysta. Następnie skorzystaj ze wzoru na różnicę kwadratów.

Zadanie 2–53.

Ze zbioru {1,2,3,...,100} chcemy wybrać 51 liczb w taki sposób, aby suma żadnych dwóch wybranych liczb nie była równa 100. Na ile sposobów można to zrobić?

Odp.: 2^49.
Podziel dany zbiór na następujące podzbiory: {1,99}, {2,98}, ..., {49,51}, {50}, {100}. Następnie zauważ, że 51 liczb spełnia warunki zadania dokładnie wtedy, gdy żadne dwie nie znajdują się w tym samym podzbiorze.

Zadanie 2–52.

W pięciokącie wypukłym zaznaczone kąty są proste, boki oznaczone jedną kreską mają równe długości oraz boki oznaczone dwiema kreskami mają równe długości. Znając długość a czerwonej przekątnej, oblicz pole pięciokąta.

Odp.: a^2/2.

Zadanie 2–51.

W każde pole kwadratowej tablicy wpisano jedną z liczb: -1, 0 lub 1. Następnie obliczono sumę liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i na obu przekątnych. Wykaż, że co najmniej dwie sumy są równe.

Załóżmy, że dana tablica ma wymiary n na n. Wtedy każda z 2n+2 sum jest liczbą naturalną nie mniejszą od -n oraz nie większą od n.

Zadanie 2–50.

Czy istnieje taka dodatnia liczba całkowita n, dla której liczba 4n^2-n jest kwadratem liczby naturalnej?

Odp.: Taka liczba nie istnieje.
Uzasadnij, że liczba 4n^2-n leży pomiędzy (2n-1)^2 a (2n)^2.

Zadanie 2–49.

Czy istnieje taka liczba naturalna n, której kwadrat ma sumę cyfr 101?

Odp.: Taka liczba nie istnieje.
Uzasadnij, że kwadrat dowolnej liczby naturalnej nie daje reszty 2 z dzielenia przez 3.

Zadanie 2–48.

Dany jest kwadrat (niebieski) oraz prostokąt (czerwony) o wspólnym wierzchołku, ułożone w taki sposób, że zaznaczone kąty wynoszą po 45°, a długość zielonego odcinka równa się 1. Oblicz obwód czerwonego prostokąta.

Odp.: 2√2.
Obróć zielony trójkąt o 90° w sposób przedstawiony na rysunku.

Zadanie 2–47.

Czy cyfry 1,2,3,4,5,6 można ustawić w takiej kolejności, aby otrzymać liczbę 6-cyfrową podzielną przez 11? Odpowiedź uzasadnij.

Odp.: Nie można.
Wykorzystaj cechę podzielności przez 11.

Zadanie 2–46.

Wysokość trójkąta ostrokątnego ma długość 6 i dzieli bok, na który została poprowadzona na dwa odcinki o długościach 2 i 3. Wyznacz miarę kąta trójkąta, z którego poprowadzono tę wysokość.

Zadanie można rozwiązać na kilka sposobów. Jeden z nich jest przedstawiony na poniższym rysunku. Poszukaj trójkątów przystających oraz trójkąta prostokątnego równoramiennego.

Zadanie 2–45.

Na tablicy napisano n>1 niezerowych liczb rzeczywistych. W jednym ruchu można dowolnie wybrać dwie liczby a, b, a następnie w ich miejsce wpisać liczby a-b/2 oraz b+a/2. Wykaż, że po wykonaniu skończonej liczby ruchów nie da się otrzymać liczb początkowo napisanych na tablicy.

Uzasadnij, że wraz z każdym ruchem suma kwadratów liczb znajdujących się na tablicy zmniejsza swoją wartość.

Zadanie 2–44.

Dany jest okrąg oraz jego średnica. Przez zadany punkt leżący na okręgu poprowadzić prostą prostopadłą do AB, używając jedynie linijki.

Konstrukcja znajduje się poniżej.
Uwaga. Zadanie to wraz z rozwiązaniem zaprezentował uczniom szóstej klasy szkoły podstawowej premier Rosji Michaił Miszustin podczas swojej wizyty w jednej ze szkół we wrześniu 2021 r. z okazji rozpoczynającego się roku szkolnego.
Źródło: The Guardian.

Zadanie 2–43.

Każdy wierzchołek 10-kąta foremnego pomalowano na jeden z dwóch kolorów. Wykaż, że istnieją co najmniej dwa trójkąty równoramienne, z których każdy ma wierzchołki tego samego koloru.

Zauważ, że dowolne trzy wierzchołki pięciokąta foremnego są wierzchołkami trójkąta równoramiennego.

Zadanie 2–42.

Na przyjęcie przyszło n≥2 osób. Każda z nich usiadła przy okrągłym stole. Przy każdym miejscu znajduje się kartonik z nazwiskiem gościa, dla którego jest ono przeznaczone. Okazało się, że nikt nie usiadł przy swoim miejscu. Wykaż, że stół można tak obrócić, aby co najmniej dwie osoby siedziały przy kartoniku ze swoim nazwiskiem.

Zauważ, że zawsze można obrócić stół w taki sposób, by wybrana osoba miała przed sobą karteczkę ze swoim nazwiskiem. Osób jest n, możliwych ułożeń stołu w skutek jego obrotu jest także n.

Zadanie 2–41. Punkty K i L są odpowiednio środkami boków CD i DA kwadratu ABCD. Wykaż, że promienie okręgów wpisanych w trójkąt ABK i czworokąt BKDL są równe.

Uzasadnij, że jeśli okrąg o promieniu r jest wpisany w wielokąt o obwodzie 2p, to iloczyn pr jest równy polu tego wielokąta.

Zadanie 2–40. Rozwiąż układ równań: a-b=c^3, b-c=a^3, c-a=b^3.

Odp. a=b=c=0.
Pierwsze równanie pomnóż stronami przez c, drugie przez a, a trzecie przez b.

Zadanie 2–39. Wyznacz wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba 1!+2!+...+n! jest kwadratem liczby naturalnej.
Uwaga: Symbol m! oznacza iloczyn 1∙2∙...∙m.

Odp. n=1 lub n=3.
Dla każdej liczby naturalnej n wyznacz cyfrę jedności liczby 1!+2!+...+n!.

Zadanie 2–38. Wykaż, że dla dowolnej liczby nieparzystej n liczba 1∙2∙...∙n+(n+1)∙(n+2)∙...∙2n jest podzielna przez 2n+1.

Zauważ, że 1≡-2n (mod 2n+1), 2≡-(2n-1) (mod 2n+1), ... n≡-(n+1) (mod 2n+1).

Zadanie 2–37. Suma liczb nieujemnych a, b, c jest równa 1. Wyznacz największą możliwą wartość wyrażenia b^2+4ac.

Odp.: 1.
Uzasadnij, że dla dowolnych liczb nieujemnych a, b, c spełniona jest nierówność b^2+4ac≤(a+b+c)^2. Przeanalizuj także, kiedy zachodzi równość.

Zadanie 2–36. Wykaż, że iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych powiększony o 1 jest kwadratem liczby całkowitej.

Zapisz rozpatrywane wyrażenie w postaci (n-1)n(n+1)(n+2)+1, a następnie przekształć je, doprowadzając do (n^2+n-1)^2.

Zadanie 2–35. Wykaż, że w 12-kącie foremnym A₁A₂...A₁₂ przekątne A₁A₆, A₂A₉, A₃A₁₁ przecinają się w jednym punkcie.

Uzasadnij, że rozpatrywane przekątne są dwusiecznymi kątów w trójkącie A₁A₃A₉. (Wykorzystaj fakt, że kąty wpisane oparte na łukach tej samej długości są mają równe miary.)

Zadanie 2–34. Trójkąt równoboczny ABC jest wpisany w okrąg. Punkty D i E leżą odpowiednio na bokach AB i BC, przy czym BD=CE. Prosta DE przecina okrąg w punktach P i Q. Wykaż, że DP=QE.

Oznacz przez O środek danego okręgu. Uzasadnij, że trójkąty ODB i OEC są przystające. Wywnioskuj stąd, że trójkąty ODP i OEQ są przystające.
Autorem zadania jest słynny geometra Floor van Lamoen.

Zadanie 2–33. Wyznacz wszystkie trójki (a,b,c) liczb nieujemych i nie większych od 1, dla których spełniona jest równość a+b+c=ab+bc+ca.

Odp.: a=b=c=0 lub a=b=c=1.
Zapisz dane równanie w postaci a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)=0 i zauważ, że wszystkie składniki stojące po lewej stronie są nieujemne.

Zadanie 2–32. Ile jest par (a,b) liczb a, b należących do zbioru {1,2,3,...,1000} o tej własności, że liczba a+b jest podzielna przez 3?
Uwaga. Pary (a,b) oraz (b,a) dla a różnego od b traktujemy jako różne.

Odp.: 333333.
Liczba a+b jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby a, b są podzielne przez 3 lub gdy jedna z nich daje resztę 1, a druga resztę 2 z dzielenia przez 3.

Zadanie 2–31. Ile jest liczb n należących do zbioru {1,2,3,...,1000}, dla których liczba n^4-1 jest podzielna przez 9?

Odp.: 223.
Zauważ, że n^4-1=(n-1)(n+1)(n^2+1). Wykorzystując tę zależność, uzasadnij, że liczba n^4-1 jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z liczb n-1 lub n+1 jest podzielna przez 9.

Zadanie 2–30. Dany jest trójkąt ABC, w którym kąt przy wierzchołku C jest prosty, a kąt przy wierzchołku B ma miarę 40°. Punkty P i Q leżą na boku BC, przy czym oba kąty CAP i BAQ są równe 10°. Wykaż, że BQ=2∙CP.

Oznacz przez S obraz symetryczny punktu P względem prostej AC. Uzasadnij, że SQ=PB.

Zadanie 2–29. Punkt C leży na odcinku AB. Rozpatrujemy półokręgi o średnicach AC, CB, AB położone po tej samej stronie prostej AB. Prosta przechodząca przez punkt A przecina te półokręgi kolejno w punktach D, E, F, G. Wykaż, że DE=FG.

Oznacz przez M rzut prostokątny środka odcinka BC na prostą AD. Uzasadnij, że M jest zarówno środkiem odcinka EF jak i DG.

Zadanie 2–28. Dodatnie liczby a, b, c są długościami boków pewnego trójkąta. Wykaż, że spełniona jest poniższa nierówność.

Uzasadnij najpierw, że jeśli 0<x<y, z>0, to x/y<(x+z)/(y+z).

Zadanie 2–27. Dana jest dodatnia liczba rzeczywista a. Wiadomo, że liczby a^4 oraz a^15 są całkowite. Wykaż, że liczba a jest całkowita.

Uzasadnij najpierw, że a jest liczbą wymierną. Następnie zauważ, że jeśli ułamek p/q jest nieskracalny, to także ułamek (p/q)^k jest nieskracalny.

Zadanie 2–26. Na boku AB nierównoramiennego trójkąta ABC leżą takie punkty M i N, że AN=AC oraz BM=BC. Prosta równoległa do BC przechodząca przez punkt M i prosta równoległa do AC przechodząca przez punkt N przecinają się w punkcie S. Wykaż, że kąty CSM i CSN są równe.

Uzasadnij, że czworokąt SKCL jest rombem (zob. rysunek niżej), dowodząc, że odległość punktu M od prostej BC jest równa odległości punktu N od prostej AC.
Źródło: XVI Olimpiada Matematyczna Juniorów, 3 etap, zad. 4.

Zadanie 2–25. Czy liczbę π można przedstawić w postaci sumy kilku liczb dodatnich, których zapis dziesiętny po przecinku zawiera jedynie cyfry 3 i 7?

Odp.: Takie przedstawienie jest możliwe.
Uzasadnij najpierw, każdą liczbę z przedziału (0,1) można przestawić w postaci sumy dziewięciu liczb dodatnich, których zapis dziesiętny zawiera jedynie cyfry 0 i 1. Następnie przedstaw liczbę (π-3)/4=0,035398... w tej postaci.

Zadanie 2–24. Czy na powierzchni każdego czworościanu można wskazać takie 4 punkty, każdy leżący na innej ścianie, które są wierzchołkami kwadratu?

Odp.: Takie punkty można wskazać na powierzchni każdego czworościanu.
Uzasadnij najpierw, że każdy czworościan można przeciąć płaskim cięciem w taki sposób, aby w przekroju otrzymać romb.
Źródło: VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów, 3 etap, zad. 5.

Zadanie 2–23. Czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite a, b, c, d, że zapis dziesiętny liczby (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) kończy się cyframi „10”?

Odp.: Takie liczby nie istnieją.
Uzasadnij, że jeśli liczba (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) jest parzysta, to jest podzielna także przez 4.
Źródło: II Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów, 2 etap, zad. 4.

Zadanie 2–22. Na poniższym rysunku pole mniejszego kwadratu jest dwa razy mniejsze od pola większego kwadratu. Wyznacz miarę zaznaczonego kąta.

Odp.: 45 stopni.
Uzasadnij, że punkt O jest jednakowo odległy od punktów A, B, C. Następnie narysuj okrąg o środku O i promieniu r.

Zadanie 2–21. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a, b oraz przeciwprostokątnej długości c. Wykaż, że jeśli n>2 jest liczbą naturalną, to a^n+b^n<c^n.

Uzasadnij najpierw, że (a/c)^2+(b/c)^2=1. Następnie zauważ, że jeśli liczba dodatnia x jest mniejsza od 1, to x^2>x^n dla n>2.

Zadanie 2–20. Punkt P leży wewnątrz trójkąta równobocznego ABC o boku długości 1. Proste AP, BP, CP przecinają odcinki BC, CA, AB odpowiednio w punktach D, E, F. Wykaż, że PD+PE+PF<1.

Przez punkt P poprowadź proste równoległe do boków trójkąta ABC.

Zadanie 2–19. Na boku trójkąta równobocznego zbudowano półkole, a następnie łuk tego półkola podzielono na trzy łuki równych długości. Punkty podziału połączono odcinkami z przeciwległym wierzchołkiem. Wykaż, że odcinki te dzielą bok trójkąta na trzy części równych długości.

Uzasadnij, że proste AD i BC są równoległe. Następnie poszukaj trójkątów podobnych.

Zadanie 2–18. Na przekątnej BD kwadratu ABCD wybrano takie punkty E, F, że kąt EAF ma miarę 45 stopni, przy czym odcinek BE jest krótszy od odcinka BF. Wykaż, że z odcinków o długościach BE, EF, FD można zbudować trójkąt prostokątny.

Odbij punkt B symetrycznie względem prostej AE, a punkt D symetrycznie względem prostej AF. Uzasadnij, że oba otrzymane w ten sposób punkty pokrywają się.

Zadanie 2–17. Na tablicy napisano w jednym rzędzie 7 liczb całkowitych. Udowodnij, że wśród nich można wskazać napisane obok siebie liczby (być może jedną), których suma jest podzielna przez 7.

Załóżmy, że kolejno napisane liczby to a_1, a_2, ..., a_7. Rozpatrz reszty z dzielenia przez 7 określonych poniżej liczb b_1, b_2, ..., b_7.

Zadanie 2–16. Wyznacz wszystkie trójki liczb całkowitych a, b, c, dla których a^3+2b^3+4c^3=0.

Odp.: Jedyną taką trójką jest a=0, b=0, c=0.
Zauważ, że liczba a jest parzysta. Podstaw zatem a=2d do wyjściowego równania. Co możesz wtedy powiedzieć o liczbie b?

Zadanie 2–15. Dane są takie dodatnie liczby całkowite a, b, dla których liczba 3a+5b jest podzielna przez liczbę a+b. Wykaż, że a=b.

Z warunku zadania wynika, że 3a+5b=k(a+b) dla pewnej dodatniej liczby całkowitej k. Przekształć tę zależność w poniższy sposób i porównaj znaki wyrażeń stojących po obu stronach otrzymanej równości.
Źródło: XVI Olimpiada Matematyczna Juniorów, 2 etap, zad. 3.

Zadanie 2–14. Dany jest kwadrat ABCD. Punkt E leży na przekątnej AC, przy czym AE>EC. Na boku AB wybrano punkt F, różny od B, dla którego EF=DE. Udowodnij, że kąt DEF jest prosty.

Poprowadź przez punkt E prostą równoległą do BC, która przecina odcinki AB i CD odpowiednio w punktach K i L. Uzasadnij, że trójkąty DLE i EKF są przystające.
Źródło: XVI Olimpiada Matematyczna Juniorów, 2 etap, zad. 2.

Zadanie 2–13. W przestrzeni danych jest 6 punktów, z których żadne cztery nie leżą na jednej płaszczyźnie. Łącząc niektóre z tych punktów narysowano 10 odcinków. Wykaż, że w ten sposób uzyskano co najmniej jeden trójkąt.

Uzasadnij najpierw, że istnieje taki punkt A, który został połączony z pewnymi czterema punktami B, C, D, E. Następnie wykaż, że pewne dwa spośród punktów B, C, D, E zostały połączone.
Źródło: II Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów, 2 etap, zad. 3.

Zadanie 2–12. Dany jest sześciokąt wypukły, w którym każdy kąt wewnętrzny ma miarę 120 stopni. Udowodnij, że symetralne odcinków BC, DE i FA przecinają się w jednym punkcie.

Przedłuż odcinki AB, CD i EF. Poszukaj trójkątów równobocznych.
Źródło: II Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów, 2 etap, zad. 2.

Zadanie 2–11. Wybrano w dowolny sposób 51 liczb spośród 1,2,3,...,100. Wykaż, że pewne dwie wybrane liczby są względnie pierwsze, tzn. ich największy wspólny dzielnik jest równy 1.

Rozpatrz następujące pary: (1,2), (3,4), (5,6), ..., (99,100). Zauważ, że pewne dwie wybrane liczby znajdują się w tej samej parze.

Zadanie 2–10. Liczby 2^n oraz 5^n zapisano w systemie dziesiętnym jedna po drugiej. Ile cyfr ma uzyskana liczba?

Odp.: n+1.
Przyjmijmy, że liczba 2^n ma w zapisie dziesiętnym k cyfr, a liczba 5^n – l cyfr. Wówczas spełnione są poniższe nierówności. Pomnóż je stronami.

Zadanie 2–9. Dane są liczby nieujemne a_1,a_2,...,a_100 o sumie równej 1. Wyznacz największą wartość wyrażenia a_1a_2+a_2a_3+ ... +a_99a_100+a_100a_1.

Odp.: 1/4.
Zauważ, że ponieważ dane liczby są nieujemne, to spełniona jest następująca nierówność:

Zadanie 2–8. Dany jest trójkąt ABC, w którym kąt przy wierzchołku A jest dwa razy większy od kąta przy wierzchołku B. Wykaż, że długość boku AC jest większa od 1/3 długości boku AB.

Zaznacz na boku AB taki punkt X, że CX=CA. Uzasadnij, że BX=CX.

Zadanie 2–7. Prostokąt o wymiarach m x n podzielono na kwadraty jednostkowe. Przez wnętrza ilu kwadratów jednostkowych przechodzi przekątna tego prostokąta?

Odp.: m+n–d, gdzie d jest największym wspólnym dzielnikiem liczb m i n.
Zauważ, że jeśli liczby m i n mają największy wspólny dzielnik równy 1, to poruszając się po przekątnej przechodzimy z kwadratu do kwadratu dokładnie wtedy, gdy przecinamy którąś linię pionową lub poziomą.

Zadanie 2–6. Wewnątrz okręgu o promieniu 1 wybrano 10 punktów. Wykaż, że na tym okręgu istnieje taki punkt P, którego suma odległości od danych punktów jest równa co najmniej 10.

Rozważ dowolną średnicę PQ danego okręgu. Uzasadnij, że co najmniej jeden z punktów P lub Q spełnia warunki zadania.

Zadanie 2–5. Dany jest trójkąt równoboczny o boku 1. Zakładając, że a+b+c=1, udowodnij, że suma pól trójkątów zielonych jest równa polu trójkąta pomarańczowego.

Uzasadnij, że suma pól trójkątów niebieskiego, zielonego i pomarańczowego jest równa polu danego trójkąta równobocznego.

Zadanie 2–4. Pewne trzy liczby są nie mniejsze odpowiednio od 1, 2 oraz 3. Wykaż, że iloczyn tych liczb jest nie mniejszy od ich sumy.

Źródło: XLV Olimpiada Matematyczna, 2 etap, zad. 2 (szczególny przypadek).

Zadanie 2–3. Liczby dodatnie x, y, z spełniają warunek xyz(x+y+z)=1. Wykaż, że liczba (x+y)(y+z) jest nie mniejsza od 2.

Zauważ, że (x+y)(y+z)=xz+y(x+y+z). Następnie uzasadnij, że jeśli iloczyn dwóch liczb dodatnich jest równy 1, to ich suma jest większa lub równa od 2.
Uwaga: Zadanie też można rozwiązać geometrycznie! W tym celu rozważ trójkąt o bokach długości x+y, y+z, z+x. Wykorzystując wzór Herona, uzasadnij, że jego pole jest równe 1. Następnie wykaż, że iloczyn długości dwóch boków trójkąta jest większy lub równy od podwojonego pola trójkąta.

Zadanie 2–2. Rozwiąż równanie w zbiorze liczb rzeczywistych:

Odp.: Jedynym rozwiązaniem jest liczba –2.
Uzasadnij, że jeśli x jest mniejsze –2, to lewa strona równania jest ujemna. Jeśli z kolei x jest większe lub równe 2, to lewa strona jest dodatnia.
Źródło: Obóz naukowy OMG, 2011 r.

Zadanie 2–1. Na poniższym rysunku pole mniejszego kwadratu jest równe 2, a pole większego kwadratu jest równe 4. Oblicz obwód trójkąta ABC.

Odp.: 4.
Uzasadnij, że trójkąty APS i APQ są przystające, a także, że trójkąty CPS i CPR są przystające.

Najbliższe zajęcia dla uczniów liceum oraz klas 7-8 szkoły podstawowej zainteresowanych matematyką

kontakt@matedu.pl

polityka prywatności

mat edukacja

Uczymy się razem