mat edukacja

Uczymy się razem
Konkursy OMJ OM 2 etap

Przed konkursem matematycznym

Zadania

Zadanie 1–41.

Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite, które można przedstawić w postaci sumy liczby pierwszej i liczby złożonej.

Konkurs matematyczny: suma liczby pierwszej i złożonej

Odp.: Szukane liczby to wszystkie liczby naturalne większe od 5.
Zauważ, że każda liczba parzysta jest sumą liczby 2 oraz liczby parzystej. Poszukaj podobnego rozkładu dla liczb nieparzystych.

Zadanie 1–40.

W pewnej szkole jest 100 uczniów. Języka hiszpańskiego uczy się 60 uczniów, francuskiego — 70, niemieckiego — 80, a angielskiego — 91. Wykaż, że pewna osoba w szkole uczy się wszystkich czterech języków.

Konkurs matematyczny: h=60, f=70, n=80, a=91.

Przypuśćmy, że każdy uczeń uczy się co najwyżej trzech języków i każdy z nich ma po jednym zeszycie do każdego z tych przedmiotów. Jaka jest maksymalna łączna liczba wszystkich zeszytów?

Zadanie 1–39.

Na poniższym rysunku dane są dwa kwadraty o wspólnym wierzchołku. Odcinki żółte mają długości a i b, a zielony długość c. Wykaż, że a+b ≥ c.

Konkurs matematyczny: suma długości dwóch odcinków nie mniejsza od długości trzeciego.

Uzasadnij, że długość żółtego przerywanego odcinka jest równa a. W tym celu poszukaj trójkątów przystających.

Konkurs matematyczny: suma długości dwóch odcinków nie mniejsza od długości trzeciego, wskazówka

Zadanie 1–38.

W poniższym dodawaniu różnym literom odpowiadają różne cyfry, a takim samym literom — takie same cyfry. Czy taki zapis dodawania jest możliwy?

Konkurs matematyczny: Czy następujące dodawanie jest możliwe: THREE+FIVE=EIGHT ?

Odp. Taki zapis dodawania nie jest możliwy.
Uzasadnij najpierw, że E=T+1, a następnie, że E+E=10+T. Doprowadź do sprzeczności, przyglądając się drugiej kolumnie dodawania (od prawej strony).

Zadanie 1–37.

Wykaż, że liczba złożona z 91 jedynek jest złożona.

Konkurs matematyczny: liczba zapisana przy pomocy 91 jedynek

Uzasadnij, że liczba ta jest podzielna przez 1111111 (7 jedynek). Może się przydać równość 91=7∙13.

Zadanie 1–36.

Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie E. Oznaczmy przez S, T oraz W odpowiednio pola trójkątów ABE, CDE oraz trapezu ABCD. Wykaż, że √S+√T=√W.

Konkurs matematyczny: zależność pól w trapezie

Oznacz przez a, b odpowiednio długości podstaw AB, CD, a przez c długość wysokości trójkąta ABE opuszczonej z wierzchołka E. Wyznacz długość wysokości trójkąta CDE poprowadzonej z wierzchołka E.

Zadanie 1–35.

Przez punkt leżący wewnątrz kwadratu poprowadzono proste prostopadłe, które dzielą kwadrat na 4 czworokąty A, B, C, D, w sposób przedstawiony na rysunku. Wykaż, że suma obwodów czworokątów A i C jest równa sumie obwodów czworokątów B i D.

Konkurs matematyczny: Kwadrat podzielony na 4 czworokąty.

Uzasadnij, że suma długości odcinków zielonego i żółtego jest równa sumie długości odcinków czerwonego i niebieskiego.

Kwadrat podzielony na 4 czworokąty, wskazówka.
Zadanie 1–34. Dane są takie liczby całkowite a, b, dla których liczba a+4b jest podzielna przez 7. Wykaż, że wtedy liczba 2a+b jest także podzielna przez 7. 2a+b=2(a+4b)-7b.
Zadanie 1–33. Na tablicy napisano skończenie wiele (i więcej niż jedną) różnych liczb rzeczywistych. Okazało się, że dla każdych dwóch napisanych liczb została napisana także ich suma. Jakie liczby napisano na tablicy? Podaj wszystkie możliwości. Odp.: Na tablicy napisno dwie liczby (a,0) lub trzy liczby (a,-a,0), gdzie a jest dowolną liczbą różną od 0.
Uzasadnij, że suma pewnych dwóch (różnych od 0) liczb napisanych na tablicy i mających ten sam znak nie może być zapisana na tablicy.
Zadanie 1–32. Na boku AD kwadratu ABCD zbudowano trójkąt równoboczny skierowany do wnętrza tego kwadratu. Punkt P leży na boku AD, przy czym kąty APB oraz DPE mają tę samą miarę α. Wyznacz α. Odp.: α=75°.
Oznacz przez F punkt symetryczny do punktu E względem prostej AD. Uzasadnij, że punkt P leży na odcinku BF. Następnie wyznacz miary kątów trójkąta ABF.
Zadanie 1–31. Wykaż, że pole zielonego trójkąta jest równe polu pomarańczowego trójkąta. (Wymiary kwadratów mogą być dowolne.)
Zadanie 1–30. Po wykonaniu wszystkich działań liczbę 1^1+2^2+3^3+...+100^100 zapisano w systemie dziesiętnym, uzyskując pewną liczbę n-cyfrową. Ile jest równe n? Odp.: n=201.
Zauważ, że liczba 1^1+2^2+3^3+...+99^99 jest mniejsza od 99∙99^99. Wywnioskuj stąd, że wyjściowa liczba jest mniejsza od 2∙100^100.
Zadanie 1–29. Jaka jest miara kąta α?
Zadanie 1–28. Wykaż, że jeżeli liczby p oraz 3p+1 są pierwsze, to liczba 5p+1 jest również pierwsza. Uzasadnij, że jedna z liczb p lub 3p+1 jest parzysta.
Zadanie 1–27. Dana jest liczba 8-cyfrowa a. Liczba 8-cyfrowa b powstaje z liczby a poprzez przestawienie cyfry jedności liczby a na początek. Wykaż, że jeśli liczba a jest podzielna przez 101, to liczba b także jest podzielna przez 101. Liczbę a przedstaw w postaci 10∙k+c, gdzie k jest pewną liczbą 7-cyfrową, a c pewną cyfrą. Następnie zapisz liczbę b przy pomocy liczb k i c.
Zadanie 1–26. Wyznacz wszystkie liczby naturalne n, które można przedstawić w postaci sumy co najmniej dwóch liczb naturalnych (niekoniecznie różnych), których iloczyn także jest równy n. (Przykładem takiej liczby n jest 4, gdyż 4=2+2 oraz 4=2∙2.) Odp. Warunki zadania spełniają wszystkie liczby złożone n.
Liczbę złożoną n przestaw w postaci iloczynu dwóch liczb naturalnych p, q większych od 1, po czym pomnóż ten iloczyn przez odpowiednią liczbę jedynek.
Zadanie 1–25. Trzy kwadraty na poniższym rysunku mają wspólny wierzchołek oraz są przystające. Znając kąty α, β, γ, oblicz miary kątów trójkąta ABC. Odp. Miary kątów trójkąta ABC przy wierzchołkach A, B, C są równe odpowiednio 45°+α/2, 45°+β/2, 45°+γ/2.
Zauważ, że odległości od wspólnego wierzchołka trzech kwadratów do punktów A, B, C są równe.
Zadanie 1–24. Udowodnij następującą zależność: Zauważ, że liczba 111...1 (2n jedynek) jest równa (10^(2n)-1)/9. Zapisz pozostałe dwie liczby w analogiczny sposób.
Zadanie 1–23. Dana jest dodatnia liczba rzeczywista a. Wiadomo, że liczby a^4 oraz a^15 są wymierne. Wykaż, że liczba a jest wymierna.
Zadanie 1–22. Punkty E i F leżą odpowiednio na bokach BC i CD kwadratu ABCD, przy czym EC=FC. Prosta przechodząca przez punkt F i prostopadła do prostej AE przecina prostą AB w punkcie P. Wykaż, że AF=PF. Uzasadnij, że zaznaczone na rysunku kąty są równe.
Zadanie 1–21. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n poniższa liczba jest potęgą liczby 2 o wykładniku naturalnym. Pomnóż dany iloczyn z lewej strony przez 2–1. Skorzystaj wielokrotnie ze wzoru (a-b)(a+b)=a^2-b^2.
Zadanie 1–20. Wykaż, że liczba 2^654 ma więcej niż 196 cyfr w zapisie dziesiętnym. Zapisz daną liczbę w poniższej postaci. Zauważ, że 2^10=1024>10^3.
Zadanie 1–19. Wykaż, że w dowolnym trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest mniejsza od sumy długości przeciwprostokątnej i wysokości trójkąta poprowadzonej do niej. (Zgodnie z oznaczeniami rysunku: a+b<c+h.) Podnieś obie strony dowodzonej nierówności do kwadratu. Pamiętaj o twierdzeniu Pitagorasa oraz wzorach na pole trójkąta.
Zadanie 1–18. Dana jest liczba pierwsza p. Wykaż, że reszta z dzielenia liczby p przez 30 jest liczbą pierwszą lub równą 1. Uzasadnij najpierw, że każda liczba złożona mniejsza od 30 dzieli się przez 2, 3 lub 5.
Zadanie 1–17. Rowerzysta pokonał pewną trasę, jadąc ze średnią prędkością 30 km/h. Gdy dojechał do celu, natychmiast zawrócił i tę samą trasę pokonał ze średnią prędkością 20 km/h. Jaka była średnia prędkość rowerzysty podczas całej jazdy? Odp.: 24 km/h.
Oznacz przez a długość trasy rowerzysty (w kilometrach) w jedną stroną. Ile godzin jechał rowerzysta w każdą ze stron?
Zadanie 1–16. Cięciwa CD pewnego okręgu przecina średnicę AB pod kątem 30 stopni i dzieli ją na dwa odcinki długości 6 i 2. Oblicz długość cięciewy CD. Oblicz najpierw promień okręgu, a następnie odległość środka okręgu od cięciwy CD.
Zadanie 1–15. Wyznacz wszystkie takie liczby pierwsze p, że liczba p^2+2 jest także pierwsza. Odp.: Jedyną taką liczbą jest p=3.
Uzasadnij, że jeśli liczba p nie jest podzielna przez 3, to liczba p^2+2 jest podzielna przez 3.
Zadanie 1–14. Wykaż, że dla dowolnej liczby nieparzystej n liczba n^5-n jest podzielna przez 240. Przekształć najpierw dane wyrażenie do poniższej postaci. Uzasadnij następnie, że pewien z czterech otrzymanych czynników jest podzielny przez 3 i pewien jest podzielny przez 5. Następnie zauważ, że jeśli n jest liczbą nieparzystą, to jeden z czynników n–1 lub n+1 jest podzielny przez 4.
Zadanie 1–13. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n^5-n jest podzielna przez 30. Przekształć najpierw dane wyrażenie do poniższej postaci. Uzasadnij następnie, że pewien z czterech otrzymanych czynników jest podzielny przez 2, pewien przez 3, a także pewien przez 5.
Zadanie 1–12. Na bokach trójkąta zbudowano po jego zewnętrznej stronie trzy prostokąty. Wiedząc, że pomarańczowe odcinki są prostopadłe i mają długości a, b, oblicz sumę pól zacieniowanych trójkątów. Odp.: ab/2.
Zadanie 1–11. Dwa kwadraty i jeden prostokąt umieszczono na płaszczyźnie w sposób przedstawiony na rysunku. Znając długości a, b zaznaczonych odcinków oraz wiedząc, że są one prostopadłe, oblicz sumę pól zacieniowanych trójkątów. Odp.: ab/2.
Obróć dwa trójkąty w sposób przedstawiony na rysunku, sklejając wszystkie szare trójkąty ze sobą. Uzasadnij, że powstał w ten sposób trójkąt i jest on prostokątny.
Zadanie 1–10. Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite n, dla których liczba n^4+4 jest pierwsza. Odp.: n=1 jest jedyną liczbą spełniającą warunki zadania.
Zadanie 1–9. Wewnątrz trójkąta równobocznego wybrano dowolny punkt. Wykaż, że suma odległości tego punktu od boków trójkąta jest równa wysokości tego trójkąta. Łącząc wybrany punkt z wierzchołkami trójkąta równobocznego, rozcinamy wyjściowy trójkąt na trzy mniejsze trójkąty. Porównaj sumę pól uzyskanych trzech trójkątów z polem danego trójkąta równobocznego.
Zadanie 1–8. Przekątne pewnego trapezu mają długości 15 i 20, a wysokość trapezu ma długość 12. Oblicz pole tego trapezu. Odp:. 150 lub 42.
Przedłuż dolną podstawę o długość górnej podstawy. Zauważ, że czworokąt, którego przeciwległymi bokami są zielone odcinki jest równoległobokiem.
Zadanie 1–7. Przekątne pewnego trapezu są prostopadłe i mają długości 3 i 4. Oblicz sumę długości podstaw tego trapezu. Odp:. 5.
Przedłuż dolną podstawę o długość górnej podstawy. Zauważ, że czworokąt, którego przeciwległymi bokami są pomarańczowe odcinki jest równoległobokiem.
Zadanie 1–6. Wyznacz wszystkie liczby całkowite a, dla których liczba (2a+3)/(a–2) jest całkowita. Odp:. a równa się –5, 1, 3 lub 9.
Zadanie 1–5. Wykaż, że prostokąt o wymiarach 9x4 można podzielić na dwa wielokąty, z których da się złożyć kwadrat.
Zadanie 1–4. Wewnątrz sześciokąta wypukłego wybrano dowolny punkt i połączono go ze środkami boków sześciokąta. Wykaż, że suma pól zacieniowanych czworokątów jest równa sumie pól niezacieniowanych czworokątów. Połącz dany punkt leżący wewnątrz sześciokąta z wierzchołkami sześciokąta. Zauważ pary trójkątów o równych polach.
Zadanie 1–3. Czy istnieje takich 1000 kolejnych liczb naturalnych, z których żadna nie jest liczbą pierwszą? Tak, takie liczby istnieją, na przykład:
1001!+2, 1001!+3, 1001!+4, ..., 1001!+1001.
Uwaga: Symbol n! oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n.
Zadanie 1–2. Jaka jest wysokość stołu? Odp.: 150 cm.
Źródło: Mind Your Decisions, Presh Talwalker
Zadanie 1–1. Trójkąt równoboczny można podzielić na dwa, trzy lub cztery przystające trójkąty. A czy istnieje taki trójkąt, który można podzielić na pięć trójkątów przystających? Tak, istnieje! Takim trójkątem jest na przykład trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 1 oraz 2.
Najbliższe zajęcia dla uczniów liceum oraz klas 7-8 szkoły podstawowej zainteresowanych matematyką
© 2020-2025 mat edukacja
kontakt@matedu.pl
polityka prywatności