mat edukacja

Uczymy się razem
Konkursy OMJ OM 2 etap

Przed 2 etapem Olimpiady Matematycznej

Zadania

Zadanie 3–41.

Na płaszczyźnie dany jest wielokąt, którego wszystkie wierzchołki mają obie współrzędne całkowite i którego wszystkie boki mają całkowite długości. Dowieść, że obwód tego wielokąta jest liczbą parzystą.

Olimpiada Matematyczna: wielokąt o wierzchołkach w punktach kratowych

Uzasadnij, że jeśli boki trójkąta prostokątnego mają całkowite długości, to parzystość przeciwprostokątnej jest taka sama jak parzystość sumy przyprostokątnych. Wykorzystując tę własność, sprowadź zadanie do przypadku, w którym każdy bok jest ułożony pionowo lub poziomo.

Olimpiada Matematyczna: wielokąt o wierzchołkach w punktach kratowych, rozwiązanie

Zadanie 3–40.

Na szachownicy o wymiarach n na 1 należy ustawić pewną liczbę pionków w taki sposób, aby żadne dwa pionki nie stały na sąsiadujących polach (na każde pole stawiamy co najwyżej jeden pionek). Na ile sposobów można to zrobić?

Olimpiada Matematyczna: zadanie o pionkach na szachownicy 1xn

Odp. Szukana liczba to F_(n+2), gdzie F_n jest ciągiem Fibonacciego, określonym wzorem rekurencyjnym: F_0=0, F_1=1, F_(n+2)=F_(n+1)+F_n.
Uzasadnij, że liczba ułożeń pionków spełnia powyższy warunek rekurencyjny definiujący ciąg Fibonacciego.

Zadanie 3–39.

Punkt G jest środkiem ciężkości trójkąta ABC. Prosta przechodząca przez punkt G przecina proste BC, CA, AB odpowiednio w punktach X, Y, Z, przy czym punkty X, Y leżą po tej samej stronie punktu G. Wykazać, że 1/GX+1/GY=1/GZ.

Olimpiada Matematyczna: własność środka ciężkości

Oznacz przez x, y, z odległości odpowiednio punktów A, B, C od danej prostej. Zauważ, że pole trójkąta ABG jest równe (x+y)GZ/2. Wyznacz w podobny sposób pola trójkątów BCG oraz CAG.

Olimpiada Matematyczna: własność środka ciężkości, rozwiązanie

Zadanie 3–38.

Dla każdej dodatniej liczby całkowitej n wyznacz resztę z dzielenia przez n+1 liczby 1∙1!+2∙2!+...+n∙n!.

Olimpiada Matematyczna: zadanie z podzielności

Odp. n.
Zauważ, że n∙n!=(n+1)!-n!.

Zadanie 3–37.

Wyznacz wszystkie liczby nieparzyste n>2, dla których liczba 1∙2∙...∙((n-1)/2) jest podzielna przez n.

Olimpiada Matematyczna: zadanie z podzielności

Odp. n jest dowolną liczbą nieparzystą złożoną większą od 9.
Uzasadnij, że jeśli n=ab, gdzie a, b są różnymi liczbami naturalnymi większymi od 1, to liczby a, b są mniejsze od (n-1)/2. Jeśli z kolei n=p^2, gdzie p jest liczbą naturalną, to 2p<(n-1)/2 dla p>3.

Zadanie 3–36. Ile jest niepustych podzbiorów zbioru {1,2,3,...,10}, których suma elementów nie przekracza 27? Odp.: 511.
Uzasadnij, że suma elementów pewnego (być może pustego) podzbioru nie przekracza 27 wtedy i tylko wtedy, gdy suma elementów dopełnienia tego zbioru jest większa od 27.
Zadanie 3–35. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczby 12^n oraz 12^n+2^n mają tyle samo cyfr w systemie dziesiętnym. Gdyby liczby 12^n oraz 12^n+2^n miały różną liczbę cyfr, to wtedy 12^n<10^k≤12^n+2^n dla pewnej dodatniej liczby całkowitej k. Uzasadnij, że k>n, po czym podziel stronami przez 2^n.
Zadanie 3–34. Na jednym kwadracie ułożono drugi w taki sposób, aby obszar niepokryty pierwszego kwadratu składał się z czterech trójkątów prostokątnych, jak pokazano na rysunku. Następnie w trójkąty te wpisano okręgi. Wykaż, że suma promieni okręgów zielonych jest równa sumie promieni okręgów czerwonych. Uzasadnij najpierw, że promień r okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wyraża się wzorem r=(a+b-c)/2, gdzie a, b są przyprostokątnymi, a c przeciwprostokątną. Następnie wykaż, że suma promieni okręgów czerwonych (a także zielonych) nie zmienia się, gdy jeden z kwadratów przesuwamy (bez obracania).
Zadanie 3–33. W pewnej grupie osób każda ma co najmniej n znajomych. Wykazać, że osoby te można podzielić na dwie grupy tak, by każda osoba znała co najmniej n/2 osób z przeciwnej grupy. (Jeśli osoba A zna B, to B zna A.) Podziel osoby na dwie grupy w taki sposób, aby łączna liczba znajomości pomiędzy obiema grupami była największa. Uzasadnij, że taki podział spełnia warunki zadania.
Zadanie 3–32. Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b, c spełniona jest nierówność a^2/b+b^2/c+c^2/a ≥ a+b+c. Wykorzystaj nierówność Cauchy'ego-Schwarza dla odpowiednio dobranych liczb.
Zadanie 3–31. Rozstrzygnąć, czy liczbę 7 można przedstawić w postaci sumy kwadratów trzech liczb wymiernych. Odp.: Taki rozkład nie jest możliwy.
Jeśli a/d, b/d, c/d są liczbami wymiernymi spełniającymi dany warunek, gdzie a, b, c, d są liczbami całkowitymi, to dana w treści zadania zależność przybiera postać a^2+b^2+c^2=7d^2. Rozpatrz dwa przypadki: d – parzyste, d – nieparzyste.
Zadanie 3-30. Ile jest dróg o długości n startujących z punktu (0,0) i kończących się na prostej o równaniu y=0? Zakładamy, że droga składa się z n odcinków, każdy o długości 1, ułożonych pionowo lub poziomo. Odp.: 2n po n, tzn. (2n)!/(n!∙n!).
Każdą drogę o długości n startującą z punktu (0,0) zakoduj przy pomocy 2n cyfr, z których każda jest równa 0 lub 1, w następujący sposób: 01 – ruch w lewo, 10 – ruch w prawo, 11 – ruch w górę, 00 – ruch w dół.
Zadanie 3-29. Pewien 6-wyrazowy ciąg arytmetyczny składa się z samych liczb pierwszych. Wykazać, że różnica tego ciągu jest podzielna przez 30. Uzasadnij, że jeśli p jest liczbą pierwszą, a liczba całkowita r nie jest podzielna przez p, to dla dowolnej liczby całkowitej a liczby a, a+r, a+2r, ..., a+(p-1)r dają różne reszty z dzielenia przez p.
Zadanie 3–28. Liczbę 1000 przedstawić w postaci sumy pewnej liczby składników, z których każdy jest liczbą naturalną, w taki sposób, aby iloczyn tych składników był możliwie największy. Odp.: 1000=3+3+...+3+4 (332 trójki).
Uzasadnij, że jeśli n>4 jest jednym ze składników, to większy iloczyn uzyskamy, jeśli zastąpimy go przez sumę 2+(n-2). Zauważ także, że 3∙3>2∙2∙2.
Zadanie 3-27. Wykazać, że spośród dowolnych siedmiu liczb rzeczywistych można wybrać takie dwie a i b, które spełniają poniższą nierówność: Dla każdej liczby a spośród danych siedmiu wyznacz liczbę x z przedziału (-π,π), dla której a=tg(x). Następnie wykorzystaj wzór na tangens różnicy dwóch kątów.
Zadanie 3-26. Wykres wielomianu trzeciego stopnia przecięto dwiema prostymi w sposób przedstawiony na rysunku. Następnie trzy fragmenty wykresu znajdujące się między tymi prostymi zrzutowano prostopadle na oś x-ów, uzyskując trzy odcinki. Wykazać, że długość środkowego odcinka jest równa sumie długości dwóch pozostałych odcinków. Oznacz końce uzyskanych odcinków jak na poniższym rysunku. Następnie, wykorzystując wzory Viete'a dla wielomianów trzeciego stopnia, uzasadnij, że x_1+x_2+x_3=t_1+t_2+t_3.
Zadanie 3-25. Dowieść, że każdą dodatnią liczbę wymierną można przedstawić w postaci (a^2+b^7)/(c^3+d^5), gdzie a, b, c, d są dodatnimi liczbami całkowitymi.
Zadanie 3-24. Udowodnić, że dla dowolnych dodatnich liczb a, b, c, d poniżej zapisana liczba leży w przedziale (1,2). Wykorzystaj poniższe nierówności.
Zadanie 3-23. Wewnątrz prostokąta o wymiarach 8x3 wybrano 10 punktów. Wykazać, że pewne dwa z tych punktów są odległe od siebie o mniej niż 2,25. Podziel dany prostokąt na 9 wielokątów w sposób przedstawiony na rysunku. Zauważ, że pewne dwa spośród danych punktów leżą w tym samym wielokącie.
Zadanie 3-22. Niech f(x)=x^2-3x+4. Rozwiązać równanie f(f(f(x)))=x. Odp.: x=2.
Uzasadnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x spełniona jest poniższa nierówność, przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy x=2.
Zadanie 3-21. Każdy wierzchołek pewnego pięciokąta wypukłego jest punktem kratowym (tzn. ma obie współrzędne całkowite). Udowodnić, że pięciokąt ten posiada w swoim wnętrzu punkt kratowy. Jeśli na obwodzie pięciokąta jest jeszcze co najmniej jeden punkt kratowy poza wierzchołkami, to skonstruuj najpierw pięciokąt, na którego obwodzie jedynymi punktami kratowymi będą jego wierzchołki. Następnie uzasadnij, że środek odcinka łączącego pewne dwa wierzchołki jest punktem kratowym.
Zadanie 3-20. Danych jest n osób różnego wzrostu. Na ile sposobów można te osoby ustawić w kolejce tak, by każdy (poza pierwszym) miał przed sobą albo wszystkie osoby niższe albo wszystkie wyższe od niego? Odp.: 2^(n-1).
Zauważ, że na końcu kolejki może stać albo osoba najwyższa albo najniższa.
Zadanie 3-19. Dane są trójkąty równoboczne ABC i A'B'C' o wspólnym środku i przeciwnie zorientowane. Dowieść, że proste AA', BB', CC' przecinają się w jednym punkcie (lub są równoległe). Rozpatrując pewien obrót, uzasadnij, że kąty B'AC i C'CB są równe, a także, że kąty B'CA i A'AB są równe. Wykorzystaj trygonometryczną wersję twierdzenia Cevy.
Zadanie 3-18. W pewnym banku numery kont to n-elementowe ciągi cyfr, gdzie n>1 jest ustaloną liczbą naturalną. Aby uniknąć pomyłek, bank chce, by każde dwa numery kont różniły się na co najmniej dwóch pozycjach (np. numery 0452507 i 0452407 nie mogą być użyte w banku równocześnie, gdyż różnią się tylko na jednym miejscu). Ile maksymalnie kont może być w tym banku? Odp.: 10^(n–1).
Uzasadnij, że jeśli w banku byłoby więcej niż 10^(n–1) numerów kont, to pewne dwa z nich byłyby identyczne na pierwszych n–1 miejscach.
Aby skonstruować przykład 10^(n–1) n-elementowych ciągów, z których każde dwa będą się różnić na co najmniej dwóch miejscach, rozważ wszystkie (n–1)-elementowe ciągi, a następnie do każdego z nich dopisz n-tą cyfrę w taki sposób, by suma cyfr w tym ciągu była podzielna przez 10.
Zadanie 3-17. Dane są różne liczby całkowite a, b, c. Wykazać, że nie istnieje taki wielomian w o współczynnikach całkowitych, dla którego w(a)=b, w(b)=c, w(c)=a. Uzasadnij, że jeśli różne liczby a, b są całkowite, to liczba w(a)–w(b) jest podzielna przez a–b.
Zadanie 3-16. Dane są liczby rzeczywiste a, b, c. Dowieść, że co najmniej jedno z poniższych równań ma rozwiązanie rzeczywiste. Przypuśćmy, że obie funkcje kwadratowe f(x) i g(x) nie mają rzeczywistych pierwiastków. Rozpatrz wtedy funkcję f(x)+g(x).
Zadanie 3-15. Nieskończony ciąg p_1,p_2,p_3,... jest określony przez warunki: p_1=2, a p_(n+1) jest największym dzielnikiem pierwszym liczby p_1p_2...p_n+1. Dowieść, że ciągu tym nie występuje liczba 5. Warunek p_n=5 oznacza, że iloczyn p_1p_2...p_(n-1) jest liczbą postaci 2^a3^b5^c–1 dla pewnych liczb całkowitych nieujemnych a, b, c. Uzasadnij, że a=0, b=0 i doprowadź do sprzeczności.
Zadanie 3-14. Rozwiązać układ równań: Odp.: x=y=1, z=0.
Uzasadnij najpierw, że obie liczby x, y są nieujemne. Następnie wykorzystaj nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną dla liczb x, y.
Zadanie 3-13. Nieskończony ciąg a_1, a_2, ... jest określony przez poniższe warunki. Wtedy liczby (2^n)a_n stanowią coraz lepsze przybliżenie pewnej liczby a (tzn. ciąg (2^n)a_n jest zbieżny do a). Ile jest równe a? Odp.: a=pi/2.
Wykorzystując podobieństwo trójkątów ABO oraz CBD, uzasadnij, że 2a_n jest długością boku 2^(n+1)-kąta foremnego opisanego na okręgu o promieniu 1.
Zadanie 3-12. Dany jest trójkąt ABC, w którym AC=BC. Wysokość poprowadzona z wierzchołka C ma długość h. Okrąg o promieniu h jest styczny do prostej AB oraz zawiera w swoim wnętrzu punkt C. W którym miejscu należy umieścić okrąg, aby długość jego łuku zawartego wewnątrz trójkąta ABC była największa? Odp.: Długość łuku PQ jest stała, niezależnie od położenia okręgu.
Oznacz przez P, Q końce rozpatrywanego łuku, przez S – środek okręgu. Niech P' będzie obrazem symetrycznym punktu P względem prostej CS. Uzasadnij, że punkt P' leży zarówno na okręgu, jak i na prostej BC. Wywnioskuj stąd, że kąty ACB i PSQ są równe.
Zadanie 3-11. Wewnątrz trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a oraz b wybrano punkt, którego odległości od wierzchołków trójkąta wynoszą odpowiednio x, y, z. Wykazać, że spełniona jest poniższa nierówność. Obróć szary trójkąt leżący wewnątrz danego trójkąta prostokątnego o 90 stopni wokół wierzchołka kąta prostego.
Zadanie 3-10. W każde pole nieograniczonej kartki w kratkę wpisano liczbę całkowitą, przy czym każda liczba została wpisana co najwyżej raz. Udowodnić, że dla każdej dodatniej liczby a istnieją takie dwa sąsiednie pola (tzn. mające wspólny bok), że różnica liczb wpisanych w te pola jest większa od a. Przypuśćmy, wbrew tezie, że liczby wpisane w każde dwa sąsiednie pola różnią się o co najwyżej a. Rozpatrz kwadrat o boku n składający się z n^2 pól. Uzasadnij, że różnica największej i najmniejszej liczby z tego kwadratu jest nie mniejsza od n^2–1. Następnie uzasadnij, że te dwie liczby różnią się o co najwyżej 2(n-1)a. Dobierając odpowiednio dużą liczbę n, doprowadź do sprzeczności.
Zadanie 3-9. Czy istnieje taki ciąg 17 liczb rzeczywistych, że suma każdych 11 kolejnych wyrazów tego ciągu jest dodatnia, a suma każdych 7 kolejnych jego wyrazów ujemna? Odp.: Taki ciąg liczb nie istnieje.
Zapisz wyrazy x_i danego ciągu w tabeli w poniższy sposób. Jaki znak ma suma wszystkich liczb w tej tabeli?
Zadanie 3-8. Wykazać, że równanie x^2-3xy+y^2=1 ma nieskończenie wiele rozwiązań x, y będących dodatnimi liczbami całkowitymi. Zauważ, że x=0, y=1 jest rozwiązaniem danego równania. Uzasadnij następnie, że jeśli para (x,y) spełnia dane równanie, to także para (y,3y–x) spełnia to równanie.
Zadanie 3-7. W jedno pole prostokątnej tablicy o wymiarach 14x9 wpisano znak „–”, w pozostałe znaki „+”. W jednym ruchu możemy wybrać dowolny wiersz, dowolną kolumnę lub dowolną linię pod kątem 45 stopni i zmienić wszystkie znaki w wybranej linii na przeciwne. Gdzie powinien się znaleźć znak „–”, by przy pomocy pewnej skończonej liczby ruchów było możliwe uzyskanie tablicy złożonej z samych plusów? Odp.: Uzyskanie tablicy z samych plusów jest możliwe jedynie wtedy, gdy znak „–” znajduje się w jednym z rogów prostokąta.
W przypadku, gdy znak „–” nie znajduje się w rogu prostokąta, wyróżnij 8 pól w sposób pokazany na poniższym rysunku. Zauważ, że podczas wykonywania ruchu nie zmienia się parzystość liczby plusów na wyróżnionych polach.
Zadanie 3-6. Kwadrat o boku 2^n podzielono na kwadraty 1x1 i usunięto jeden z nich. Wykazać, że pozostałą część kwadratu można pokryć klockami w kształcie litery L, składającymi się z trzech kwadratów 1x1. (Zakładamy, że klocki nie mogą na siebie nachodzić ani wystawać poza kwadrat.) Indukcja. Dla n=1 teza jest oczywiście spełniona. Krok indukcyjny. Podziel kwadrat o boku 2^(n+1) na cztery przystające kwadraty, każdy o boku 2^n. Następnie umieść jeden klocek w centralnej części dużego kwadratu w sposób przedstawiony na rysunku. Skorzystaj z założenia indukcyjnego.
Zadanie 3-5. Wyznaczyć wszystkie trójki liczb rzeczywistych a, b, c spełniające równanie: Odp.: (a,b,c) jest równe (x,0,0), (0,x,0) lub (0,0,x), gdzie x jest dowolną liczbą nieujemną.
Oznacz wspólną wartość obu stron równania przez x. Następnie wykonaj poniższe przekształcenia, po czym zbadaj znak wyrażenia stojącego po lewej stronie ostatniej równości.
Zadanie 3-4. Na szachownicy o wymiarach 8x8 umieszczono osiem kwadratów 2x2, z których każdy zajmuje 4 pola szachownicy. Udowodnić, że można na tej szachownicy zmieścić jeszcze jeden kwadrat 2x2, wypełniający 4 pola, którego wnętrze nie nachodzi na żaden z umieszczonych wcześniej kwadratów. Pokoloruj niektóre pola szachownicy w sposób przedstawiony na rysunku (kolor czerwony). Zauważ, że każdy z umieszczonych na szachownicy kwadratów 2x2 zahacza o wnętrze dokładnie jednego czerwonego kwadratu 2x2.
Zadanie 3-3. Dodatnie liczby całkowite a, b, c, d spełniają warunek (1). Wykazać, że liczba a+b+c+d jest złożona. Przekształć zależność (1), doprowadzając ją do poniższej postaci. Zauważ, że oba czynniki po prawej stronie są mniejsze od a+b+c+d.
Zadanie 3-2. Do pokrycia pewnego prostokąta użyto k klocków o wymiarach 2x2 oraz m klocków o wymiarach 1x4. Wykazać, że tego prostokąta nie da się pokryć, używając k-1 klocków 2x2 oraz m+1 klocków 1x4. (Zakładamy, że klocki na siebie nie nachodzą oraz nie wystają poza prostokąt.) Pokoloruj niektóre pola prostokąta w sposób przedstawiony na rysunku. Zauważ, że każdy klocek 2x2 pokrywa dokładnie 1 pokolorowane pole, a każdy klocek 1x4 pokrywa 0 lub 2 pokolorowane pola.
Zadanie 3-1. Danych jest n+2 liczb całkowitych, gdzie n jest liczbą całkowitą dodatnią. Wykazać, że spośród tych liczb można wybrać takie dwie, których różnica kwadratów jest podzielna przez 2n. Wszystkie możliwe reszty z dzielenia przez 2n połącz w pary: (0,0), (1,2n–1), (2,2n–2), ..., (n,n). Uzasadnij, że pewne dwie spośród danych liczb dają z dzielenia przez 2n reszty znajdujące się w tej samej parze.
Najbliższe zajęcia dla uczniów liceum oraz klas 7-8 szkoły podstawowej zainteresowanych matematyką
© 2020-2025 mat edukacja
kontakt@matedu.pl
polityka prywatności